Konvexe Polygone. Definition eines konvexen Polygons. Diagonalen eines konvexen Polygons

Diese geometrischen Figuren umgeben uns überall. Konvexe Polygone sind natürliche, zum Beispiel Bienenwaben oder künstliche (von Menschen geschaffene). Diese Figuren werden in der Herstellung von verschiedenen Arten von Beschichtungen, in Malerei, Architektur, Dekorationen usw. verwendet. Konvexe Polygone haben die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte auf einer Seite der Linie liegen, die durch ein Paar benachbarter Ecken dieser geometrischen Figur verläuft. Es gibt andere Definitionen. Konvex ist das Polygon, das in einer einzelnen Halbebene in Bezug auf jede Linie liegt, die eine seiner Seiten enthält.

Konvexe Polygone

Im Laufe der elementaren Geometrie immerwir betrachten nur einfache Polygone. Um alle Eigenschaften solcher geometrischen Figuren zu verstehen, ist es notwendig, ihre Natur zu verstehen. Zu Beginn sollte es so verstanden werden, dass jede Linie, deren Enden übereinstimmen, als geschlossen bezeichnet wird. Und die von ihm gebildete Figur kann verschiedene Konfigurationen haben. Ein Polygon ist eine einfache geschlossene Polygonlinie, deren benachbarte Links nicht auf derselben Linie liegen. Seine Verbindungen und Spitzen sind jeweils die Seiten und Eckpunkte dieser geometrischen Figur. Eine einfache Polylinie darf keine Selbstüberschneidungen haben.

Die Eckpunkte eines Polygons werden in diesem Zusammenhang als benachbart bezeichnetwenn sie die Enden einer ihrer Seiten darstellen. Eine geometrische Figur, die eine n-te Anzahl von Ecken hat, und damit die n-te Reihe von Parteien genannt n-Ecks. Die gestrichelte Linie selbst wird als Grenze oder Kontur dieser geometrischen Figur bezeichnet. Polygonale Ebene oder ebene Polygon bezeichnet den letzten Teil einer beliebigen Ebene, die begrenzt ist. Benachbarte Seiten der geometrischen Figur genannt Polyliniensegmente vom gleichen Scheitelpunkt stammen. Sie werden nicht Nachbarn sein, wenn sie auf verschiedenen Ecken des Polygons basieren.

Andere Definitionen von konvexen Polygonen

In der elementaren Geometrie gibt es mehrere mehräquivalent in seiner Bedeutung von Definitionen, die angeben, welches Polygon konvex genannt wird. Und all diese Formulierungen sind gleichermaßen wahr. Ein konvexes Polygon wird folgendermaßen betrachtet:

• Jedes Segment, das zwei Punkte miteinander verbindet, liegt vollständig darin;

• darin liegen alle seine Diagonalen;

• Der Innenwinkel darf 180 ° nicht überschreiten.

Das Polygon teilt die Ebene immer durch 2Teile. Einer von ihnen ist begrenzt (er kann in einem Kreis eingeschlossen sein) und der andere ist unbegrenzt. Der erste heißt der innere Bereich und der zweite heißt der äußere Bereich dieser geometrischen Figur. Dieses Polygon ist der Schnittpunkt (mit anderen Worten - die gemeinsame Komponente) von mehreren Halbebenen. In diesem Fall gehört jedes Segment, das an den Punkten endet, die zu dem Polygon gehören, vollständig dazu.

Sorten von konvexen Polygonen

Die Definition eines konvexen Polygons zeigt dies nicht anzu der Tatsache, dass es viele Arten gibt. Und jeder von ihnen hat bestimmte Kriterien. Somit sind die konvexen Polygonen, die einen Innenwinkel von 180 ° aufweisen, bezogen auf leicht konvex. Die konvexe geometrische Figur, die drei Spitzen hat, wird ein Dreieck bezeichnet, vier - Viereck, fünf - Fünfeck usw. jedes des konvexen n-Gon erfüllt folgende wichtige Anforderungen: .. N gleich sein muß, oder größer als 3. Jeder der Dreiecke ist konvex. Die geometrische Figur dieser Art, bei der alle Ecken auf einem Kreis angeordnet sind, die so genannte Inkreises. Ein konvexes Polygon wird beschrieben, wenn alle seine Seiten in der Nähe des Kreises es berühren. Zwei Polygone werden nur dann als gleich bezeichnet, wenn sie mit Hilfe einer Überlagerung kombiniert werden können. Flach Polygon genannte polygonale Ebene (eine Ebene Abschnitt), dass diese begrenzte geometrische Figur.

Regelmäßige konvexe Polygone

Korrekte Polygone werden aufgerufengeometrische Figuren mit gleichen Winkeln und Seiten. In ihnen befindet sich ein Punkt 0, der von jedem seiner Eckpunkte gleich weit entfernt ist. Es wird das Zentrum dieser geometrischen Figur genannt. Die Segmente, die das Zentrum mit den Eckpunkten dieser geometrischen Figur verbinden, werden Apopheme genannt, und diejenigen, die den Punkt 0 mit den Seiten verbinden, sind Radien.

Das rechte Viereck ist ein Quadrat. Das rechte Dreieck heißt gleichseitig. Für solche Figuren gibt es folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons beträgt 180 ° * (n-2) / n,

wobei n die Anzahl der Eckpunkte dieser konvexen geometrischen Figur ist.

Die Fläche eines regulären Polygons wird durch die Formel definiert:

S = p * h,

Dabei ist p gleich der halben Summe aller Seiten eines gegebenen Polygons und h ist gleich der Länge des Apophems.

Eigenschaften von konvexen Polygonen

Konvexe Polygone haben bestimmte Eigenschaften. Das Segment, das zwei beliebige Punkte einer solchen geometrischen Figur verbindet, befindet sich daher zwangsläufig darin. Beweis:

Angenommen, P ist eine gegebene konvexe FormPolygon. Wir nehmen 2 beliebige Punkte, zum Beispiel A, B, die zu P gehören. Nach der Definition eines konvexen Polygons liegen diese Punkte auf einer Seite der Linie, die irgendeine Seite von P enthält. Deshalb hat AB auch diese Eigenschaft und ist in P enthalten. Ein konvexes Polygon ist immer Es ist möglich, in mehrere Dreiecke durch absolut alle Diagonalen zu teilen, die von einem seiner Eckpunkte gezeichnet werden.

Die Winkel von konvexen geometrischen Figuren

Die Winkel eines konvexen Polygons sind Winkel, diewerden von seinen Parteien gebildet. Innenecken sind im inneren Bereich dieser geometrischen Figur. Der Winkel, der durch seine Seiten gebildet wird, die an einer Ecke konvergieren, wird der Winkel des konvexen Polygons genannt. Winkel, die an die Innenwinkel einer gegebenen geometrischen Figur angrenzen, werden als extern bezeichnet. Jeder Winkel eines konvexen Polygons, das sich in ihm befindet, ist gleich:

180 ° - x,

wo x ist der Wert des externen Winkels. Diese einfache Formel gilt für alle geometrischen Figuren dieses Typs.

Im allgemeinen Fall gibt es äußere Winkeldie folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons ist gleich der Differenz zwischen 180 ° und dem Wert des inneren Winkels. Es kann Werte im Bereich von -180 ° bis 180 ° haben. Wenn der innere Winkel 120 ° beträgt, beträgt der äußere Winkel daher 60 °.

Die Summe der Winkel von konvexen Polygonen

Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons ergibt sich aus der Formel:

180 ° * (n-2),

wo n die Anzahl der Eckpunkte des n-gon ist.

Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons wird berechnetganz einfach. Betrachten Sie eine solche geometrische Figur. Um die Summe der Winkel innerhalb eines konvexen Polygons zu bestimmen, muss einer seiner Eckpunkte mit anderen Eckpunkten verbunden sein. Als Ergebnis dieser Aktion erhalten wir (n-2) Dreiecke. Es ist bekannt, dass die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180 ° beträgt. Da ihre Zahl in jedem Polygon gleich (n-2) ist, ist die Summe der inneren Winkel einer solchen Figur 180º x (n-2).

Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons, d.h.Je zwei innere und benachbarte äußere Winkel, diese konvexe geometrische Figur wird immer 180 ° sein. Davon ausgehend ist es möglich, die Summe aller seiner Winkel zu bestimmen:

180 х n.

Die Summe der Innenwinkel beträgt 180 ° * (n-2). Ausgehend davon wird die Summe aller äußeren Winkel der gegebenen Figur durch die Formel:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Die Summe der äußeren Winkel jedes konvexen Polygons beträgt immer 360 ° (unabhängig von der Anzahl der Seiten).

Der äußere Winkel des konvexen Polygons wird im Allgemeinen durch eine Differenz zwischen 180 ° und dem Wert des inneren Winkels dargestellt.

Andere Eigenschaften eines konvexen Polygons

Zusätzlich zu den grundlegenden Eigenschaften dieser geometrischenZahlen, sie haben andere, die entstehen, wenn sie manipuliert werden. Somit kann jedes der Polygone in mehrere konvexe n-gons unterteilt werden. Dazu ist es notwendig, jede seiner Seiten fortzusetzen und diese geometrische Figur entlang dieser Geraden zu schneiden. Teilen Sie ein beliebiges Polygon in mehrere konvexe Teile auf, und zwar so, dass die Scheitel jedes Teils mit all seinen Scheitelpunkten übereinstimmen. Aus dieser geometrischen Figur ist es sehr einfach, Dreiecke zu machen, indem man alle Diagonalen von einem Eckpunkt hält. Somit kann jedes Polygon in der endgültigen Analyse in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken unterteilt werden, was sehr nützlich ist beim Lösen verschiedener Probleme, die mit solchen geometrischen Figuren verbunden sind.

Umfang eines konvexen Polygons

Die Stücke der Polylinie, genannt die SeitenPolygon, am häufigsten mit den folgenden Buchstaben bezeichnet: ab, bc, cd, de, ea. Dies sind die Seiten der geometrischen Figur mit den Eckpunkten a, b, c, d, e. Die Summe der Längen aller Seiten dieses konvexen Polygons wird sein Umfang genannt.

Kreis eines Polygons

Konvexe Polygone können bezeichnet und bezeichnet werdenbeschrieben. Ein Kreis, der alle Seiten dieser geometrischen Figur berührt, wird als Inschrift bezeichnet. Ein solches Polygon wird als beschrieben bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der in das Polygon eingeschrieben ist, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller Winkel innerhalb einer gegebenen geometrischen Figur. Die Fläche eines solchen Polygons ist gleich

S = p * r,

Dabei ist r der Radius des einbeschriebenen Kreises und p ist der Halbperimeter des gegebenen Polygons.

Ein Kreis mit den Ecken eines Polygons,genannt in der Nähe beschrieben. In diesem Fall wird diese konvexe geometrische Figur bezeichnet bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der in der Nähe eines solchen Polygons beschrieben wird, stellt den Schnittpunkt der sogenannten mittleren Senkrechten aller Seiten dar.

Diagonalen von konvexen geometrischen Figuren

Diagonalen eines konvexen Polygons sind Segmente,welches nicht benachbarte Scheitelpunkte verbindet. Jeder von ihnen liegt in dieser geometrischen Figur. Die Anzahl der Diagonalen eines solchen n-Gon wird durch die Formel

N = n (n-3) / 2.

Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons wird abgespielteine wichtige Rolle in der elementaren Geometrie. Die Anzahl der Dreiecke (K), in die jedes konvexe Polygon unterteilt werden kann, wird durch die folgende Formel berechnet:

K = n - 2.

Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons hängt immer von der Anzahl seiner Eckpunkte ab.

Aufteilen eines konvexen Polygons

In einigen Fällen, um geometrisch zu lösenes ist notwendig, ein konvexes Polygon in mehrere Dreiecke mit disjunkten Diagonalen aufzuteilen. Dieses Problem kann durch Ableiten einer bestimmten Formel gelöst werden.

Definition des Problems: Wir nennen eine bestimmte Partition eines konvexen n-gon durch Diagonalen, die sich nur an den Eckpunkten dieser geometrischen Figur schneiden, in mehrere Dreiecke.

Lösung: Angenommen, P1, P2, P3 ..., Pn sind die Eckpunkte dieses n-gons. Die Zahl Xn ist die Anzahl ihrer Partitionen. Wir betrachten sorgfältig die resultierende Diagonale der geometrischen Figur Pi Pn. In jeder der regulären Partitionen P1 Pn gehört zu einem bestimmten Dreieck P1 Pi Pn, für die 1 <i <n. Ausgehend davon und unter der Annahme, dass i = 2,3,4 ..., n-1, erhalten wir (n-2) Gruppen dieser Partitionen, in denen alle möglichen Sonderfälle enthalten sind.

Sei i = 2 eine Gruppe von regulärenwelches immer die Diagonale P2 Pn enthält. Die Anzahl der Partitionen, die darin eingehen, stimmt mit der Anzahl der Partitionen des (n-1) -Gon P2 P3 P4 ... Pn überein. Mit anderen Worten, es entspricht Xn-1.

Wenn i = 3, dann wird diese andere Gruppe von Partitionen seinenthalten immer die Diagonalen P3 P1 und P3 Pn. Darüber hinaus stimmt die Anzahl der regulären Partitionen, die in dieser Gruppe enthalten sind, mit der Anzahl der Partitionen überein (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Mit anderen Worten, es wird Xn-2 gleich sein.

Sei i = 4, dann unter den Dreiecken das Reguläredie Zerlegung wird notwendigerweise ein Dreieck P1 P4 Pn enthalten, an das das Viereck P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn angrenzen wird. Die Anzahl der regulären Partitionen eines solchen Vierecks ist gleich X4, und die Anzahl der Partitionen von (n-3) -gon ist gleich Xn-3. Basierend auf dem oben genannten können wir sagen, dass die Gesamtzahl der regulären Partitionen, die in dieser Gruppe enthalten sind, Xn-3 X4 ist. Andere Gruppen, für die i = 4, 5, 6, 7 ... wird Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... von regulären Partitionen enthalten.

Sei i = n-2, dann stimmt die Anzahl der regulären Partitionen in einer gegebenen Gruppe mit der Anzahl der Partitionen in einer Gruppe überein, für die i = 2 ist (mit anderen Worten, sie ist gleich Xn-1).

Da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., ist die Anzahl aller Partitionen eines konvexen Polygons gleich:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

Beispiel:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 · X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 · X4 + X4 · X5 + X6 + X7 = 132

Die Anzahl der regulären Partitionen, die eine Diagonale schneiden

Bei der Überprüfung bestimmter Fälle kann man zu der Annahme gelangen, dass die Anzahl der Diagonalen von konvexen n-gonen gleich dem Produkt aller Partitionen dieser Figur ist (n-3).

Beweis für diese Annahme: vorstellen, dass P1n = Xn * (n-3), während jeder n-Ecks kann unterteilt werden in (n-2) ist ein Dreieck. Zur gleichen Zeit kann einer von ihnen (n-3) - das Viereck kombiniert werden. Zusammen damit wird jedes Viereck eine Diagonale haben. Da diese konvexe geometrische Figur zwei Diagonalen können durchgeführt werden, was bedeutet, daß in jedem (n-3) -chetyrehugolnikah diagonalen zusätzlichen führen kann (n-3). Auf dieser Basis können wir, dass die Möglichkeit, zu jeder richtigen Partition abschließen muss (n-3) -diagonali, die die Anforderungen dieser Aufgabe.

Fläche konvexer Polygone

Oft beim Lösen verschiedener Probleme, der elementarenGeometrie wird es notwendig, die Fläche eines konvexen Polygons zu bestimmen. Angenommen, (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n ist eine Folge von Koordinaten aller benachbarten Ecken eines Polygons, das keine Selbstüberschneidungen aufweist. In diesem Fall wird seine Fläche durch die folgende Formel berechnet:

S = 1 (Σ (X_ich + X_{ich + 1}) (Y_ich + Y_{ich + 1})),

wo (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).