Beispiele für die Induktion. Methode der mathematischen Induktion: Beispiele für Lösungen
Wahres Wissen beruhte zu allen Zeiten aufdie Feststellung der Regelmäßigkeit und den Nachweis ihrer Wahrhaftigkeit unter bestimmten Umständen. Der Wortlaut der Regeln waren wir eine so lange Zeit des Bestehens des logischen Denkens gegeben, und Aristoteles sogar eine Liste der „richtigen Argumentation.“ Historisch gesehen können alle Schlüsse in zwei Typen unterteilt werden - aus Beton zu mehrere (Induktion) und umgekehrt (Abzug). Es sollte beachtet werden, dass die Arten von Beweismitteln aus dem Besonderen zum Allgemeinen und vom Allgemeinen zum Besonderen gibt es nur in der Beziehung sind und nicht untereinander ausgetauscht werden.
Induktion in Mathematik
Der Begriff "Induktion" hat LateinWurzeln und wird wörtlich übersetzt als "Führung". Bei näherem Studium können wir die Struktur des Wortes unterscheiden, nämlich das lateinische Präfix - in- (bezeichnet die gerichtete Handlung innerhalb oder innerhalb) und die - Einführung - Einführung. Es sollte beachtet werden, dass es zwei Arten gibt - vollständige und unvollständige Induktion. Eine vollständige Form zeichnet sich durch Schlussfolgerungen aus, die sich aus dem Studium aller Objekte einer bestimmten Klasse ergeben.
Unvollständig - die Schlussfolgerungen, die auf alle Fächer der Klasse angewendet wurden, aber basierend auf dem Studium von nur wenigen Einheiten gemacht wurden.
Vollständige mathematische Induktion - Inferenz,basierend auf der allgemeinen Schlussfolgerung über die ganze Klasse von beliebigen Objekten, funktional verbunden durch die Beziehungen einer natürlichen Anzahl von Zahlen auf der Grundlage der Kenntnis dieser funktionalen Verbindung. Der Prozess des Beweises durchläuft drei Phasen:
- der erste beweist die Richtigkeit der Position der mathematischen Induktion. Beispiel: f = 1, dies ist die Grundlage der Induktion;
- Die nächste Stufe basiert auf der Annahme der Gültigkeit der Position für alle natürlichen Zahlen. Das heißt, f = h, dies ist die Induktions-Hypothese;
- Die dritte Stufe beweist GerechtigkeitPosition für die Zahl f = h + 1, auf der Grundlage der Korrektheit des vorherigen Satzes, ist ein Induktionsschritt oder ein Schritt der mathematischen Induktion. Ein Beispiel ist das sogenannte "Domino-Prinzip": Wenn der erste Knochen in einer Reihe (Basis) fällt, fallen alle Knochen in der Reihe (Übergang).
Und zum Spaß und ernst
Zur Vereinfachung der Wahrnehmung werden Beispiele der Lösung durch die Methode der mathematischen Induktion in Form von Scherzproblemen aufgedeckt. Dies ist die Aufgabe "höfliche Linie":
- Verhaltensregeln verbieten einem Mann zu besetzeneine Schlange vor einer Frau (in einer solchen Situation ist sie erlaubt) Basierend auf dieser Aussage, wenn die letzte Person in der Warteschlange ein Mann ist, dann sind alle anderen Männer.
Ein schlagendes Beispiel für die Methode der mathematischen Induktion ist das Problem des "dimensionslosen Fluges":
- Es muss nachgewiesen werden, dass der Minibus platziert isteine beliebige Anzahl von Menschen. Es ist wahr, dass eine Person problemlos in einem Fahrzeug untergebracht werden kann (Basis). Aber egal wie der Minibus gefüllt ist, 1 Passagier passt immer hinein (Induktionsschritt).
Bekannte Kreise
Beispiele für die Lösung der Methode der mathematischen Induktion von Problemen und Gleichungen sind durchaus üblich. Zur Veranschaulichung dieses Ansatzes können wir das folgende Problem betrachten.
Zustand: h ist auf einer Ebene von Kreisen platziert. Es ist notwendig zu beweisen, dass bei jeder Anordnung der Figuren die Karte, die von ihnen gebildet wird, richtig mit zwei Farben gemalt werden kann.
Die Lösung: Für h = 1 ist die Wahrheit der Aussage offensichtlich, daher wird der Beweis für die Anzahl der Kreise h + 1 erstellt.
Nehmen wir an, die Aussage ist gültig fürjede Karte, und in der Ebene sind h + 1 Kreise angegeben. Wenn Sie einen der Kreise aus dem Gesamtwert entfernen, können Sie eine Karte mit zwei Farben (schwarz und weiß) erhalten.
Ändert sich beim Wiederherstellen eines Remote-Kreisesdie Farbe jedes Bereichs zum Gegenteil (in diesem Fall innerhalb des Kreises). Es stellt sich heraus, die Karte, richtig in zwei Farben lackiert, wie erforderlich.
Beispiele mit natürlichen Zahlen
Im Folgenden wird die Anwendung der Methode der mathematischen Induktion veranschaulicht.
Lösungsbeispiele:
Beweisen Sie, dass für jedes h die folgende Gleichheit gilt:
12+22+32+ ... + h2= h (h + 1) (2h + 1) / 6.
Lösung:
1. Sei h = 1, dann:
R1= 12= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1
Daraus folgt, dass für h = 1 die Behauptung richtig ist.
2. Unter der Annahme, dass h = d, erhalten wir die Gleichung:
R1= d2= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1
3. Unter der Annahme h = d + 1 erhalten wir:
Rd + 1= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6
Rd + 1= 12+22+32+ ... + d2+ (d + 1)2= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)2= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)2) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) +6 (k + 1)) / 6 =
(d + 1) (2d2+ 7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.
Somit ist die Gültigkeit der Gleichheit für h = d + 1 bewiesen, daher gilt die Aussage für jede natürliche Zahl, wie das Beispiel der Lösung der mathematischen Induktion zeigt.
Ziel
Zustand: erfordert einen Beweis, dass für jeden Wert von h Ausdruck 7 isth-1 ist ohne Rest durch 6 teilbar.
Die Lösung:
1. Angenommen h = 1, in diesem Fall:
R1= 71-1 = 6 (d. H. Teilbar durch 6 ohne Rest)
Daher ist für h = 1 die Behauptung wahr;
2. Sei h = d und 7d-1 wird durch 6 ohne Rest geteilt;
3. Der Beweis für die Gültigkeit der Aussage für h = d + 1 ist die Formel:
Rd+1= 7d+1-1 = 7 ÷ 7d-7 + 6 = 7 (7d-1) +6
In diesem Fall wird der erste Summand gemäß der Annahme des ersten Absatzes durch 6 geteilt, und der zweite Summand ist 6. Die Aussage, dass 7h-1 ist durch 6 ohne Rest für jede Art von natürlichem h teilbar - wahr.
Der Irrtum des Gerichts
Oftmals verwendet man das FalscheBegründung, aufgrund der Ungenauigkeit der verwendeten logischen Konstruktionen. Dies geschieht hauptsächlich in Verletzung der Struktur und Logik der Beweise. Ein Beispiel für falsches Schließen ist solch eine Illustration.
Ziel
Zustand: erfordert den Nachweis, dass jeder Steinhaufen keine Handvoll ist.
Die Lösung:
1. Angenommen h = 1, in diesem Fall ist 1 Stein im Stapel und die Aussage ist wahr (Basis);
2. Nehmen wir an, dass es bei h = d wahr ist, dass ein Haufen Steine keine Handvoll ist (Annahme);
3. Sei h = d + 1, woraus folgt, dass das Hinzufügen eines weiteren Steines die Menge nicht zu einer Handvoll machen wird. Dies legt nahe, dass die Annahme für alle natürlichen h gilt.
Der Fehler liegt darin, dass es keine Definition gibt, wie viele Steine einen Haufen bilden. Eine solche Unterlassung nennt man eine voreilige Verallgemeinerung der Methode der mathematischen Induktion. Ein Beispiel dafür zeigt deutlich.
Induktion und die Gesetze der Logik
Historisch gesehen gehen Beispiele von Induktion und Deduktion immer Hand in Hand. Solche wissenschaftlichen Disziplinen wie Logik, Philosophie beschreiben sie in Form von Gegensätzen.
Aus der Sicht des Logikgesetzes in induktivDefinitionen können basierend auf Fakten betrachtet werden, und die Richtigkeit der Prämissen bestimmt nicht die Richtigkeit der resultierenden Aussage. Häufig werden Schlussfolgerungen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und Plausibilität erhalten, was natürlich durch zusätzliche Studien bestätigt und bestätigt werden muss. Ein Beispiel für die Induktion in der Logik ist die Aussage:
In Estland - Dürre, in Lettland - Dürre, in Litauen - Dürre.
Estland, Lettland und Litauen sind die baltischen Staaten. In allen baltischen Staaten Dürre.
Aus dem Beispiel können wir schließen, dass die neue Informationoder Wahrheit kann nicht durch die Methode der Induktion erhalten werden. Alles, was erwartet werden kann, ist eine mögliche Wahrhaftigkeit der Schlussfolgerungen. Darüber hinaus garantiert die Wahrheit des Pakets nicht die gleichen Schlussfolgerungen. Diese Tatsache bedeutet jedoch nicht, dass die Induktion am Rande der Deduktion bleibt: Eine Vielzahl von Bestimmungen und wissenschaftlichen Gesetzen wird mit der Induktionsmethode begründet. Ein Beispiel ist die gleiche Mathematik, Biologie und andere Wissenschaften. Dies ist hauptsächlich auf die Methode der vollständigen Induktion zurückzuführen, in einigen Fällen ist sie jedoch teilweise anwendbar.
Das anständige Alter der Induktion erlaubte es, fast alle Bereiche menschlicher Aktivität zu durchdringen - das sind Wissenschaft und Wirtschaft und alltägliche Schlussfolgerungen.
Induktion im wissenschaftlichen Umfeld
Die Induktionsmethode erfordert eine gewissenhafte Beziehung,denn zu viel hängt von der Zahl der untersuchten Einzelheiten des Ganzen ab: Je größer die Zahl der untersuchten, desto zuverlässiger das Ergebnis. Ausgehend von diesem Merkmal werden die durch die Induktionsmethode gewonnenen wissenschaftlichen Gesetze auf der Ebene probabilistischer Annahmen für die Isolierung und Untersuchung aller möglichen Strukturelemente, Bindungen und Einflüsse für eine längere Zeit überprüft.
In der Wissenschaft basiert Induktionsschluss aufwesentliche Merkmale, mit Ausnahme von zufälligen Bestimmungen. Diese Tatsache ist wichtig im Zusammenhang mit den Besonderheiten des wissenschaftlichen Wissens. Dies zeigt sich deutlich an den Beispielen der Induktion in der Wissenschaft.
Es gibt zwei Arten der Induktion in der wissenschaftlichen Welt (im Zusammenhang mit der Art des Studiums):
- Induktionsauswahl (oder Auswahl);
- Induktion - eine Ausnahme (Beseitigung).
Der erste Typ zeichnet sich durch methodische (gewissenhafte) Stichproben von Klassen (Unterklassen) aus verschiedenen Bereichen aus.
Ein Beispiel für die Induktion dieses Typs ist das Folgende: Silber (oder Silbersalze) reinigt Wasser. Die Schlussfolgerung basiert auf Langzeitbeobachtungen (eine Art Auswahl von Beweisen und Widerlegungen - Auswahl).
Die zweite Art der Induktion baut auf den Schlussfolgerungen aufkausale Beziehungen herstellen und Umstände ausschließen, die nicht ihren Eigenschaften entsprechen, nämlich Universalität, Termintreue, Notwendigkeit und Eindeutigkeit.
Induktion und Deduktion aus der Perspektive der Philosophie
Wenn Sie die historische Retrospektive betrachten,Der Begriff "Induktion" wurde erstmals von Sokrates erwähnt. Aristoteles beschrieb Beispiele der Induktion in der Philosophie in einem näherungsweise terminologischen Wörterbuch, aber die Frage der unvollständigen Induktion bleibt offen. Nach den Verfolgungen des Aristoteles-Syllogismus wurde die induktive Methode als fruchtbar und die einzig mögliche Methode in der Naturwissenschaft anerkannt. Bacon gilt als Vater der Induktion als unabhängige Spezialmethode, konnte jedoch die Induktion nicht von der deduktiven Methode trennen, wie es die Zeitgenossen verlangten.
Weitere Entwicklung der Induktion beteiligt J. Mill, der die Induktionstheorie aus der Sicht der vier Hauptmethoden betrachtet: Übereinstimmung, Differenz, Residuen und entsprechende Veränderungen. Es überrascht nicht, dass diese Methoden, wenn sie im Detail untersucht werden, bis heute deduktiv sind.
Bewusstsein für das Scheitern der Theorien von Bacon und Millführte Wissenschaftler zur Erforschung der probabilistischen Grundlage der Induktion. Dies war jedoch nicht ohne Extreme: Es wurde versucht, die Induktion auf die Wahrscheinlichkeitstheorie mit allen daraus folgenden Konsequenzen zu reduzieren.
Die Abstimmung der Vertrauensinduktion wird praktischAnwendung in bestimmten Themenbereichen und aufgrund der metrischen Genauigkeit der induktiven Basis. Ein Beispiel für Induktion und Deduktion in der Philosophie kann als das Gesetz der universellen Aggression angesehen werden. Am Tag der Entdeckung des Gesetzes war Newton in der Lage, es mit einer Genauigkeit von 4 Prozent zu überprüfen. Und bei der Überprüfung nach mehr als zweihundert Jahren wurde die Korrektheit mit einer Genauigkeit von bis zu 0,0001 Prozent bestätigt, obwohl die Überprüfung durch die gleichen induktiven Verallgemeinerungen durchgeführt wurde.
Die moderne Philosophie schenkt mehr AufmerksamkeitDeduktion, die durch den logischen Wunsch diktiert wird, aus dem bereits bekannten neuen Wissen (oder Wahrheit) abzuleiten, ohne auf Erfahrung, Intuition, sondern mit "reinem" Denken zurückzugreifen. Bei der Adressierung der wahren Prämissen in der deduktiven Methode in allen Fällen ist die Ausgabe eine wahre Aussage.
Diese sehr wichtige Eigenschaft sollte nichtüberschatten den Wert der induktiven Methode. Seit der Einführung, basierend auf den Errungenschaften der Erfahrung, wird es zum Mittel seiner Verarbeitung (einschließlich Verallgemeinerung und Systematisierung).
Die Verwendung von Induktion in der Wirtschaft
Induktion und Deduktion werden seit langem als Methoden zur Erforschung der Wirtschaft und zur Vorhersage ihrer Entwicklung verwendet.
Das Spektrum der Induktionsmethode ist ausreichendbreit: eine Studie über die Umsetzung der prognostizierten Indikatoren (Gewinne, Abschreibungen usw.) und die Gesamtbewertung des Unternehmenszustands; die Bildung einer effektiven Politik zur Förderung eines Unternehmens auf der Grundlage von Fakten und deren Wechselbeziehungen.
Die gleiche Induktionsmethode wird in den "Shewhart-Karten" angewendet, wo unter der Annahme der Trennung von Prozessen in kontrollierbare und unkontrollierbare, wird argumentiert, dass der Rahmen des kontrollierten Prozesses nicht sehr mobil ist.
Es sollte beachtet werden, dass wissenschaftliche Gesetzedurch die Methode der Induktion begründet und unterstützt, und da die Wirtschaft eine Wissenschaft ist, oft unter Verwendung mathematischer Analyse, Risikotheorie und statistische Daten, ist es nicht überraschend, dass das Vorhandensein von Induktion in der Liste der grundlegenden Methoden.
Ein Beispiel für Induktion und Deduktion in der Ökonomie kannDiene der folgenden Situation. Der Preisanstieg bei Nahrungsmitteln (aus dem Warenkorb) und lebenswichtigen Gütern treibt den Verbraucher dazu, über die entstehenden Lebenshaltungskosten im Staat nachzudenken (Induktion). Gleichzeitig ist es möglich, Preiswachstumsindizes für bestimmte Güter oder Güterkategorien (Abzug) aus der Tatsache hoher Preise mit Hilfe mathematischer Methoden abzuleiten.
Meistens bezieht sich auf die Methode der InduktionFührungskräfte, Manager, Ökonomen. Um die Entwicklung des Unternehmens, das Marktverhalten, die Auswirkungen des Wettbewerbs, eine induktiv-deduktive Herangehensweise an die Analyse und Verarbeitung von Informationen mit hinreichender Wahrhaftigkeit voraussagen zu können, ist es notwendig,
Ein gutes Beispiel für Induktion in der Ökonomie, die sich auf fehlerhafte Urteile bezieht:
- der Gewinn des Unternehmens ging um 30% zurück;
ein konkurrierendes Unternehmen hat seine Produktpalette erweitert;
nichts anderes hat sich geändert; - Produktionspolitik eines konkurrierenden Unternehmens war der Grund für die Verringerung der Gewinne um 30%;
- Daher ist die gleiche Produktionspolitik erforderlich.
Ein Beispiel ist eine farbenfrohe Illustration, wie die ineffiziente Verwendung der Induktionsmethode zum Ruin eines Unternehmens beiträgt.
Deduktion und Induktion in der Psychologie
Da es eine Methode gibt, dann logisches findet ein richtig organisiertes Denken statt (um die Methode anzuwenden). Psychologie als eine Wissenschaft, die mentale Prozesse, ihre Bildung, Entwicklung, Zusammenhänge, Interaktionen untersucht, achtet auf "deduktives" Denken als eine der Formen der Deduktion und Induktion. Leider gibt es auf den Seiten der Psychologie im Internet praktisch keine Rechtfertigung für die Integrität der deduktiv-induktiven Methode. Obwohl professionelle Psychologen häufiger mit Manifestationen von Induktion oder besser mit falschen Schlussfolgerungen konfrontiert sind.
Ein Beispiel der Induktion in der Psychologie, als IllustrationenFalsche Urteile kann die folgende Aussage dienen: Meine Mutter täuscht, deshalb sind alle Frauen Betrüger. Noch mehr können "fehlerhafte" Beispiele für die Induktion aus dem Leben gefunden werden:
- der Student ist zu nichts fähig, wenn er in der Mathematik eine Zwei hat;
- er ist ein Idiot;
- er ist schlau;
- Ich kann alles machen;
- und viele andere Bewertungsurteile aus absolut zufälligen und manchmal unbedeutenden Nachrichten.
Es sollte angemerkt werden: wenn der Fehlschluss der Urteile einer Person den Punkt der Absurdität erreicht, erscheint die Frontseite der Arbeit für den Psychotherapeuten. Ein Beispiel für die Induktion bei einem Facharzttermin:
"Der Patient ist absolut sicher, dass die Farbe rot istträgt für ihn nur Gefahr in allen Manifestationen. Infolgedessen hat eine Person ein bestimmtes Farbschema - soweit möglich - aus seinem Leben ausgeschlossen. Zu Hause gibt es viele Möglichkeiten zum bequemen Wohnen. Sie können alle roten Objekte deaktivieren oder durch Analoga ersetzen, die in einem anderen Farbschema erstellt wurden. Aber auf öffentlichen Plätzen, bei der Arbeit, im Laden - ist unmöglich. In einer Stresssituation erlebt der Patient jedes Mal eine "Flut" von völlig unterschiedlichen emotionalen Zuständen, die für andere gefährlich sein können. "
Dieses Beispiel der Induktion und unbewusst"feste Ideen" genannt. Wenn dies einem geistig gesunden Menschen passiert, können Sie über die mangelnde Organisation der geistigen Aktivität sprechen. Die elementare Entwicklung des deduktiven Denkens kann zu einem Weg werden, um obsessive Zustände loszuwerden. In anderen Fällen arbeiten Psychiater mit solchen Patienten.
Die Beispiele der Einführung zeigen, dass "die Unkenntnis des Gesetzes nicht von den Folgen (fehlerhaften Urteilen) befreit"
Psychologen, die sich mit dem Thema des deduktiven Denkens beschäftigten, formulierten eine Liste mit Empfehlungen, die den Menschen helfen sollten, diese Methode zu beherrschen.
Der erste Punkt ist die Lösung von Problemen. Wie Sie sehen, kann die in der Mathematik verwendete Induktionsform als "klassisch" betrachtet werden, und die Verwendung dieser Methode trägt zur "Disziplin" des Geistes bei.
Die nächste Bedingung für die Entwicklung des deduktiven Denkensist die Erweiterung des Horizonts (wer klar denkt, eindeutig sagt). Diese Empfehlung lenkt die "Betroffenen" in den Wissenschafts- und Informationsraum (Bibliotheken, Websites, Bildungsinitiativen, Reisen usw.).
Genauigkeit ist die nächste Empfehlung. Aus den Beispielen für die Anwendung von Induktionsmethoden geht nämlich eindeutig hervor, dass sie in vieler Hinsicht eine Garantie für die Richtigkeit der Aussagen ist.
Sie haben die Flexibilität des Geistes nicht umgangen, was die Möglichkeit impliziert, verschiedene Wege und Ansätze zur Lösung des Problems zu nutzen, und berücksichtigen auch die Variabilität von Ereignissen.
Und natürlich die Beobachtung, die die Hauptquelle der Akkumulation empirischer Erfahrung ist.
Wir sollten auch das sogenannte erwähnen"Psychologische Induktion." Dieser Begriff ist im Internet nur selten zu finden. Alle Quellen geben nicht mindestens eine kurze Formulierung der Definition dieses Begriffs an, sondern beziehen sich auf "Lebensbeispiele", geben jedoch einen Vorschlag, einige Formen psychischer Erkrankungen oder extreme Zustände der menschlichen Psyche als Induktion an. Aus all dem ist klar, dass ein Versuch, einen "neuen Begriff" abzuleiten, der sich auf falsche (oft nicht der Realität entsprechenden) Annahmen stützt, den Experimentator dazu verleitet, falsche (oder voreilige) Aussagen zu erhalten.
Es sei darauf hingewiesen, dass der Hinweis auf die Versuche erfolgt1960 (ohne Angabe des Ortes, der Namen der Experimentatoren, der Stichprobe der Versuchspersonen und vor allem des Zwecks des Experiments) sieht, um es milde auszudrücken, nicht überzeugend aus, und die Aussage, dass das Gehirn Informationen wahrnimmt, wobei alle Wahrnehmungsorgane umgangen werden (in diesem Fall ist der Ausdruck "betroffen" würde eher organisch passen), lässt Sie über die Glaubwürdigkeit und Unkritikalität des Verfassers der Aussage nachdenken.
Anstatt zu schließen
Die Königin der Wissenschaften - Mathematik, nicht umsonst, die alles nutztmögliche Reserven der Induktions- und Abzugsmethode. Die betrachteten Beispiele lassen den Schluss zu, dass der Oberflächliche und Unfähige (geistlos, wie sie sagen) die Verwendung selbst der genauesten und zuverlässigsten Methoden immer zu fehlerhaften Ergebnissen führt.
Im Massenbewusstsein wird die Deduktionsmethode mit dem berühmten Sherlock Holmes in Verbindung gebracht, der in seinen logischen Konstruktionen häufig Beispiele der Induktion verwendet und in den richtigen Situationen Deduktion verwendet.
Der Artikel untersuchte Beispiele für die Anwendung dieser Methoden in verschiedenen Wissenschaften und Bereichen der menschlichen Tätigkeit.
