Das unbestimmte Integral. Berechnung von unbestimmten Integralen

Einer der grundlegenden Abschnitte der mathematischenAnalyse ist ein integraler Kalkül. Es deckt das breiteste Feld von Objekten ab, wobei das erste ein unbestimmtes Integral ist. Es lohnt sich, es als einen Schlüssel zu positionieren, der selbst in der Oberschule immer mehr Perspektiven und Möglichkeiten aufzeigt, die höhere Mathematik beschreibt.

Aussehen

Auf den ersten Blick scheint das Integrale vollständig zu seinmodern, relevant, aber in der Praxis stellt sich heraus, dass es 1800 v. Chr. erschien. Heimat wird offiziell als Ägypten betrachtet, weil frühere Beweise seiner Existenz uns nicht erreicht haben. Mangels Informationen wurde die ganze Zeit einfach als ein Phänomen positioniert. Er hat einmal mehr das Entwicklungsniveau der Wissenschaft unter den Völkern dieser Zeit bestätigt. Schließlich wurden die Werke der antiken griechischen Mathematiker aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. Gefunden. Sie beschrieben eine Methode, bei der ein unbestimmtes Integral verwendet wurde, dessen Wesen darin bestand, das Volumen oder die Fläche einer krummlinigen Figur (dreidimensionale bzw. zweidimensionale Ebene) zu finden. Das Berechnungsprinzip basierte darauf, die ursprüngliche Zahl in infinitesimale Komponenten zu unterteilen, vorausgesetzt, dass das Volumen (die Fläche) von ihnen bereits bekannt ist. Im Laufe der Zeit ist die Methode gewachsen, Archimedes benutzte es, um nach dem Bereich einer Parabel zu suchen. Ähnliche Berechnungen wurden zur gleichen Zeit von Wissenschaftlern im alten China durchgeführt, und sie waren völlig unabhängig von den griechischen Kollegen.

Entwicklung

Der nächste Durchbruch im 11. Jahrhundert war bereits AD.die Arbeit des arabischen Universalwissenschaftlers Abu Ali al-Basri, der die Grenzen des bereits Bekannten überschritt und auf dem Integral beruhende Formeln zur Berechnung der Summen von Reihen und Summen von Graden von der ersten bis zur vierten nach der uns bekannten Methode der mathematischen Induktion herleitete.

Die Köpfe der modernen Zeit bewundern, wie die AltenÄgypter haben erstaunliche Baudenkmäler geschaffen, ohne besondere Anpassungen, außer vielleicht ihre eigenen Hände, aber ist die Macht des Geistes der damaligen Wissenschaftler nicht ein kleineres Wunder? Verglichen mit der Gegenwart scheint ihr Leben fast primitiv zu sein, aber die Lösung unbestimmter Integrale wurde überall hergeleitet und in der Praxis zur weiteren Entwicklung benutzt.

Der nächste Schritt erfolgte im XVI Jahrhundert, alsder italienische Mathematiker Cavalieri leitete die unteilbare Methode ab, die Pierre Fermat ergriff. Es sind diese beiden Persönlichkeiten, die den Grundstein für die heute bekannte moderne Integralrechnung legten. Sie verknüpften die Begriffe der Differenzierung und Integration, die zuvor als autonome Einheiten wahrgenommen wurden. Im Großen und Ganzen war die Mathematik jener Zeiten fragmentiert, Teilchen der Schlussfolgerungen existierten für sich selbst und hatten eine begrenzte Reichweite. Der Weg der Verbindung und Suche nach Berührungspunkten war zu dieser Zeit der einzig richtige Weg, dank ihm konnte die moderne mathematische Analyse wachsen und sich entwickeln.

Mit der Zeit änderte sich alles und die BezeichnungIntegral einschließlich. Im Großen und Ganzen wurde es von Wissenschaftlern, die in so viel waren, benannt, zum Beispiel verwendete Newton ein quadratisches Symbol, in dem er eine integrierbare Funktion platzierte oder einfach zusammenstellte.

Diese Zwietracht dauerte bis zum XVII Jahrhundert,als Gottfried Leibnitz, ein Zeichen für die ganze Theorie der mathematischen Analyse, das uns so vertraute Symbol einführte. Ein längliches "S" basiert wirklich auf diesem Buchstaben des lateinischen Alphabets, da es die Summe der Stammfunktionen bezeichnet. Der Name des Integrals wurde nach 15 Jahren Jacob Bernoulli zugeschrieben.

Formale Definition

Das unbestimmte Integral hängt direkt von der Definition eines Primitivs ab, also werden wir es zuerst betrachten.

Die Stammfunktion ist die Umkehrfunktion.Ableitung, in der Praxis wird es auch primitiv genannt. Ansonsten: Das Primitiv der Funktion d ist eine solche Funktion D, deren Ableitung gleich ist v <=> V "= v. Die Suche nach Primitiven ist die Berechnung eines unbestimmten Integrals, und dieser Prozess selbst wird Integration genannt.

Beispiel:

Funktion s (y) = y³und seine Stammfunktion S (y) = (y⁴/ 4).

Die Menge aller Stammfunktionen der betreffenden Funktion ist das unbestimmte Integral, das wie folgt bezeichnet wird: ∫v (x) dx.

Aufgrund der Tatsache, dass V (x) nur einige istStammfunktion der ursprünglichen Funktion, der folgende Ausdruck findet statt: ∫v (x) dx = V (x) + C, wobei C eine Konstante ist. Mit einer beliebigen Konstante meinen wir jede Konstante, da ihre Ableitung Null ist.

Eigenschaften

Die Eigenschaften des unbestimmten Integrals basieren auf der grundlegenden Definition und den Eigenschaften der Derivate.

Beispiele für das Lösen unbestimmter Integrale

Betrachten Sie die wichtigsten Punkte:

das Integral der Ableitung eines Primitivs ist das Primitiv selbst plus eine beliebige Konstante C <=> "V "(x) dx = V (x) + C;
die Ableitung des Integrals der Funktion ist die ursprüngliche Funktion <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
die Konstante wird aus dem Vorzeichen des Integrals <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx herausgenommen, wobei k beliebig ist;
das Integral, das aus der Summe genommen wird, ist identisch gleich der Summe der Integrale <=> (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Aus den letzten beiden Eigenschaften können wir schließen, dass das unbestimmte Integral linear ist. Aus diesem Grund haben wir: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Um zu konsolidieren, betrachte Beispiele für das Lösen unbestimmter Integrale.

Es ist notwendig, das Integral (3sinx + 4cosx) dx zu finden:

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + 4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Aus dem Beispiel können wir schließen: Sie wissen nicht, wie unbestimmte Integrale zu lösen sind? Finde einfach alle Primitiven! Aber schauen Sie sich die Prinzipien der Suche unten an.

Methoden und Beispiele

Um das Integral zu lösen, können Sie auf folgende Methoden zurückgreifen:

Verwende die fertige Tabelle.
in Teile integrieren;
integrieren durch Ersetzen der Variablen;
Aufsummieren des Differentialzeichens.

Tabellen

Der einfachste und angenehmste Weg. Im Moment kann die mathematische Analyse recht umfangreiche Tabellen aufweisen, die die Grundformeln von unbestimmten Integralen enthalten. Mit anderen Worten, es gibt Muster, die für Sie und für Sie abgeleitet wurden, es bleibt nur, sie zu verwenden. Hier ist eine Liste der wichtigsten Tabellenpositionen, zu denen Sie fast jedes Beispiel mit einer Lösung anzeigen können:

∫0dy = C, wobei C eine Konstante ist;
∫dy = y + C, wobei C eine Konstante ist;
∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, wobei C eine Konstante ist und n eine andere Zahl als 1 ist;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, wobei C eine Konstante ist;
∫e^ydy = e^y+ C, wobei C eine Konstante ist;
∫k^ydy = (k^y/ ln k) + C, wobei C eine Konstante ist;
∫ cosydy = siny + C, wobei C eine Konstante ist;
Inysinydy = -cosy + C, wobei C eine Konstante ist;
∫dy / cos²y = tgy + C, wobei C eine Konstante ist;
∫dy / Sünde²y = -ctgy + C, wobei C eine Konstante ist;
∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, wobei C eine Konstante ist;
∫chydy = schüchtern + C, wobei C eine Konstante ist;
∫ shydy = chy + C, wobei C eine Konstante ist.

Führen Sie bei Bedarf ein paar Schritte aus, bringen Sie den Integranden zur Tischansicht und genießen Sie den Sieg. Beispiel: ∫kos (5x - 2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Durch die Entscheidung ist klar, dass für das Tabellenbeispiel dem Integranden ein Faktor von 5 fehlt. Wir fügen ihn parallel zu diesem Multiplizieren mit 1/5 hinzu, so dass sich der allgemeine Ausdruck nicht ändert.

Integration in Teile

Betrachten Sie zwei Funktionen - z (y) und x (y). Sie müssen über die gesamte Domäne kontinuierlich differenzierbar sein. Durch eine der Eigenschaften der Differenzierung haben wir: d (xz) = xdz + zdx. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit integrieren, erhalten wir: ∫d (xz) = (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Durch Umschreiben der erhaltenen Gleichheit erhalten wir eine Formel, die die Integrationsmethode in Teilen beschreibt: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Warum wird es benötigt? Tatsache ist, dass einige Beispiele relativ vereinfacht werden können, um естиzdx auf ∫xdz zu reduzieren, wenn letzteres der Tabellenform nahe kommt. Außerdem kann diese Formel mehr als einmal angewendet werden, um optimale Ergebnisse zu erzielen.

So lösen Sie unbestimmte Integrale auf diese Weise:

müssen berechnen ∫ (s + 1) e^2sds

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2sdy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2∫e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

müssen Insds berechnen

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - хs x ds / s = knoten - ∫ds = skns -s + C = s (lns-1) + C.

Variabler Ersatz

Dieses Prinzip der Lösung von unbestimmten Integralen ist nichtweniger gefragt als die vorherigen zwei, obwohl schwieriger. Die Methode ist wie folgt: Sei V (x) das Integral einer Funktion v (x). Für den Fall, dass das Integral selbst in dem Beispiel auf eine Verbindung trifft, ist die Wahrscheinlichkeit groß, verwirrt zu werden und den falschen Entscheidungsweg einzuschlagen. Um dies zu vermeiden, wird der Übergang von der Variablen x zu z praktiziert, wobei der allgemeine Ausdruck visuell vereinfacht wird, während die Abhängigkeit von z von x beibehalten wird.

In der mathematischen Sprache sieht das so aus: ∫v (x) dx = v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), wobei x = y (z) eine Permutation ist. Und natürlich die Umkehrfunktion z = y^-1(x) beschreibt vollständig die Abhängigkeit undWechselbeziehung von Variablen. Eine wichtige Anmerkung ist, dass das differentielle dx notwendigerweise durch ein neues differentielles dz ersetzt wird, da das Ersetzen einer Variablen in einem unbestimmten Integral bedeutet, dass es überall und nicht nur im Integranden durch eine Variable ersetzt wird.

Beispiel:

müssen ∫ (s + 1) / (s²+ 2s - 5) ds

Wenden Sie die Substitution z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). Dann ist dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Als Ergebnis erhalten wir den folgenden Ausdruck, der sehr einfach zu berechnen ist:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2s-5 | + C;

es ist notwendig, das Integral 2 zu finden^se^sdx

Um dies zu lösen, schreibe den Ausdruck in der folgenden Form neu:

∫2^se^sds = ∫ (2e)^sds.

Bezeichnet mit a = 2e (dieser Schritt ist kein Ersatz für Argumente, sondern immer noch s), bringen wir unser scheinbar komplexes Integral in elementare Tabellenform:

∫ (2e)^sds = ∫a^sds = a^s/ lna + C = (2e)^s/ ln (2e) + C = 2^se^s/ ln (2 + ln) + C = 2^se^s/ (ln2 + 1) + C

Differentialzeichen

Im Großen und Ganzen ist diese Methode der unbestimmten Integrale der Zwillingsbruder des variablen Ersatzprinzips, jedoch gibt es Unterschiede im Designprozess. Lassen Sie uns genauer betrachten.

Wenn ∫v (x) dx = V (x) + C und y = z (x), dann gilt ∫v (y) dy = V (y) + C.

Gleichzeitig kann man triviale Integraltransformationen nicht vergessen, darunter:

dx = d (x + a), wobei a irgendeine Konstante ist;
dx = (1 / a) d (ax + b), wobei a wieder eine Konstante ist, aber nicht gleich Null ist;
xdx = 1 / 2d (x²+ b);
sinxdx = -d (cosx);
cosxdx = d (sinx).

Wenn wir den allgemeinen Fall bei der Berechnung des unbestimmten Integrals betrachten, können Beispiele unter der allgemeinen Formel w "(x) dx = dw (x) zusammengefasst werden.

Beispiele:

muss ∫ finden (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1/2 (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)²+ C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online-Hilfe

In einigen Fällen kann die Schuld seinoder Faulheit oder dringende Notwendigkeit, können Sie die Online-Tipps verwenden, oder vielmehr, den Taschenrechner von unbestimmten Integralen verwenden. Trotz all der offensichtlichen Komplexität und Kontroverse der Integrale unterliegt ihre Lösung einem bestimmten Algorithmus, der auf dem Prinzip "wenn nicht ... dann ..." basiert.

Natürlich sind besonders komplizierte Beispiele für solcheder Rechner wird nicht beherrscht, da es Fälle gibt, in denen die Lösung künstlich gefunden werden muss, "gewaltsam", indem bestimmte Elemente in den Prozess eingeführt werden, weil die Ergebnisse nicht mit offensichtlichen Mitteln erreicht werden können. Trotz der umstrittenen Natur dieser Aussage ist es wahr, dass die Mathematik im Prinzip eine abstrakte Wissenschaft ist und die Notwendigkeit, die Grenzen der Möglichkeiten zu erweitern, als ihre primäre Aufgabe ansieht. In der Tat ist es gemäß den glatten Durchlauftheorien äußerst schwierig, aufzusteigen und sich zu entwickeln, deshalb sollte man nicht davon ausgehen, dass Beispiele für das Lösen unbestimmter Integrale, die wir gaben, die Spitze der Möglichkeiten sind. Aber zurück zur technischen Seite. Zumindest um die Berechnungen zu überprüfen, können Sie die Dienste nutzen, in denen alles vor uns geschrieben wurde. Wenn es notwendig ist, einen komplexen Ausdruck automatisch zu berechnen, dann wird dies nicht notwendig sein, und Sie müssen auf ernstere Software zurückgreifen. Es lohnt sich, vor allem auf die MatLab-Umgebung zu achten.

Anwendung

Unbestimmte Integrale zuerst lösendas Aussehen scheint völlig losgelöst von der Realität zu sein, da es schwierig ist, die offensichtliche Ebene der Anwendung zu erkennen. In der Tat können sie nirgendwo direkt verwendet werden, aber sie werden als notwendiges Zwischenelement bei der Herleitung von in der Praxis verwendeten Lösungen angesehen. Integration ist also eine Rückdifferenzierung, aufgrund derer sie aktiv am Lösungsprozess von Gleichungen teilnimmt.

Diese Gleichungen haben wiederumdirekter Einfluss auf die Lösung von mechanischen Problemen, die Berechnung von Trajektorien und Wärmeleitfähigkeit - kurz alles, was die Gegenwart ausmacht und die Zukunft bildet. Das unbestimmte Integral, dessen Beispiele wir oben betrachteten, ist nur auf den ersten Blick trivial, da es die Basis für neue und neue Entdeckungen ist.