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Was ist ein Integral und was ist seine physikalische Bedeutung?

Die Erscheinung des Integralbegriffs war darauf zurückzuführenDie Notwendigkeit einer primitiven Funktion seines Derivats zu finden und den Wert des Arbeitsbereichs komplexe Formen bestimmen, zurückgelegte Entfernung Abstand, mit den Kurven durch nichtlineare Gleichungen umrissenen Parameter.

Natürlich

Was ist das Integral?
und Physiker wissen, dass die Arbeit dem Produkt gleich istKraft über eine Entfernung. Wenn alle Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit stattfindet oder die Entfernung mit der Anwendung der gleichen Kraft überwunden wird, dann ist alles klar, du multiplizierst sie einfach. Was ist das Integral einer Konstante? Dies ist eine lineare Funktion der Form y = kx + c.

Aber Kraft kann sich im Laufe der Arbeit und in einer Art natürlicher Abhängigkeit ändern. Die gleiche Situation ergibt sich bei der Berechnung der zurückgelegten Strecke, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist.

Es ist also klar, wofür ein Integral ist. Indem man es als die Summe der Produkte der Werte einer Funktion durch ein infinitesimales Inkrement des Arguments bestimmt, beschreibt man die Hauptbedeutung dieses Konzepts vollständig als die Fläche der Figur, die von oben durch die Funktionslinie und entlang der Ränder durch die Grenzen der Definition begrenzt ist.

Jean Gaston Darboux, französischer Mathematiker, indie zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts erklärte sehr deutlich, was ein Integral ist. Er hat das so klar gemacht, dass es für einen Mittelschüler im Großen und Ganzen nicht schwierig ist, diese Frage zu verstehen.

Integrale Definition

Angenommen, es gibt eine Funktion irgendeiner komplexen Form. y-Achse, auf der der Wert des Arguments hinterlegt sind, wird in kleine Intervalle unterteilt, im Idealfall, sie unendlich klein sind, sondern weil der Begriff der Unendlichkeit ganz abstrakt ist, ist es genug, nur kleine Stücke vorzustellen, deren Höhe sich in der Regel durch den griechischen Buchstaben Δ (Delta) bezeichnet.

Die Funktion wurde in kleine Bausteine ​​"geschnitten".

Zu jedem Wert des Arguments entspricht ein Punkt aufOrdinatenachse, auf der die entsprechenden Werte der Funktion aufgetragen sind. Da jedoch die Grenzen des ausgewählten Abschnitts zwei sind, sind die Werte der Funktion auch zwei, größer und kleiner.

Die Summe der Produkte von großen Werten aufDas Inkrement Δ wird als große Darboux-Summe bezeichnet und als S bezeichnet. Dementsprechend bilden kleinere Werte auf dem begrenzten Teil, multipliziert mit Δ, zusammen eine kleine Darboux-Summe. Der Abschnitt selbst ähnelt einem rechteckigen Trapez, da die Krümmung der Funktionslinie mit einem infinitesimalen Inkrement vernachlässigt werden kann. Der einfachste Weg, die Fläche einer solchen geometrischen Figur zu finden, besteht darin, Produkte mit einem größeren und kleineren Wert zu einem Δ-Inkrement hinzuzufügen und durch zwei zu dividieren, dh sie als das arithmetische Mittel zu definieren.

Dies ist das Darboux-Integral:

s = Σf (x) Δ ist eine kleine Summe;

S = Σf (x + Δ) Δ ist eine große Summe.

Also, was ist ein Integral? Der Bereich, der durch die Funktionslinie und die Grenzen der Definition begrenzt wird, ist:

Die physikalische Bedeutung des Integrals

∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

Das heißt, das arithmetische Mittel der großen und kleinen Darboux-Summen ist ein konstanter Wert, der durch Differenzierung zunichte gemacht wird.

Ausgehend von diesem geometrischen AusdruckBegriff wird die physikalische Bedeutung des Integrals deutlich. Der Bereich der Figur, der durch die Geschwindigkeitsfunktion begrenzt ist und durch das Zeitintervall entlang der Abszisse begrenzt ist, ist die Länge des durchlaufenen Weges.

L = ∫f (x) dx im Intervall von t1 bis t2,

Wo?

f (x) ist die Geschwindigkeitsfunktion, dh die Formel, mit der sie sich mit der Zeit ändert;

L ist die Weglänge;

t1 - Zeit des Beginns des Pfades;

t2 ist die Endzeit des Pfades.

Genau nach dem gleichen Prinzip wird die Größe der Arbeit bestimmt, nur entlang der Abszisse wird die Entfernung aufgetragen, und auf der Ordinate die Größe der Kraft, die an jedem bestimmten Punkt angewendet wird.

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